12470. К окружности с центром в точке O
из точки A
проведена касательная AB
(B
— точка касания). Точка C
лежит на окружности, отлична от точки B
и AO\parallel BC
. Пусть ABCD
— параллелограмм, и M
— точка пересечения его диагоналей. Докажите, что AB=2MO
.
Решение. Заметим, что точка M
пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
— середина отрезка BD
. На продолжении отрезка OM
за точку M
отложим отрезок MO'=OM
. Четырёхугольник BODO'
— параллелограмм, так как его диагонали OO'
и BD
делятся их точкой M
пересечения пополам. Тогда BO'\parallel OD
, значит, точка O'
лежит на прямой BC
, BO'\parallel AO
.
Диагональ AC
параллелограмма ABCD
проходит через середину M
диагонали BD
и делится ею пополам. Тогда диагонали AC
и OO'
четырёхугольника AOCO'
делятся точкой пересечения M
пополам, значит, AOCO'
— тоже параллелограмм, поэтому
AO'=OC=R=OB,
где R
— радиус окружности. Значит, четырёхугольник OBO'A
— равнобедренная трапеция. Её диагонали равны, следовательно,
AB=OO'=2OM.
Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Казахская республиканская олимпиада по математике. — 2017, задача 7, 8 класс