12472. Диагонали трапеции ABCD
(AD\parallel BC
) пересекаются в точке K
. Внутри трапеции нашлась точка M
, отличная от K
, для которой \angle MBC=\angle MAD
и \angle MCB=\angle MDA
. Докажите, что прямая MK
параллельна основаниям трапеции.
Решение. Пусть высота трапеции равна n
, а отношение оснований равно m
, т. е. \frac{AD}{BC}=m
. Пусть MP
и MQ
— высоты треугольников AMD
и BMC
соответственно. Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому
\frac{MP}{MQ}=\frac{AD}{BC}=m.
Пусть KR
и KS
— высоты треугольников AKD
и CKB
соответственно. Эти треугольники подобны по двум углам, поэтому
\frac{KR}{KS}=\frac{AD}{BC}=m.
Кроме того,
MP+MQ=n~\mbox{и}~KR+KS=n.
Из систем
\syst{\frac{MP}{MQ}=m\\MP+MQ=n\\}~~\mbox{и}~~\syst{\frac{KR}{KS}=m\\KR+KS=n\\}
получаем, что
MP=\frac{mn}{m+1}~\mbox{и}~KR=\frac{mn}{m+1}.
Значит, MP=KR
, а так как MP\parallel KR
, то MKRP
— прямоугольник. Следовательно, MK\parallel AD\parallel BC
. Что и требовалось доказать.
Автор: Кунгожин М. А.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2021, XIII, заключительный этап, задача 5, 8 класс