12477. На сторонах AB
и AD
выпуклого четырёхугольника ABCD
отмечены точки P
и Q
соответственно, причём отрезки BQ
и DP
делят площадь четырёхугольника пополам. Докажите, что отрезок PQ
проходит через середину диагонали AC
.
Решение. Проведём через вершину C
параллельно диагонали BD
прямую, пересекающую продолжения сторон AB
и AD
в точках K
и L
соответственно. Треугольники BKD
, BCD
и BLD
равновелики, так как у них общее основание BD
и равные высоты, опущенные на это основание. Тогда равновелики треугольники AKD
и ABL
, так как площадь каждого из них равна половине площади четырёхугольника ABCD
. Значит, отрезки DP
и BQ
— медианы треугольников AKD
и ABL
, а точки P
и Q
— середины отрезков AK
и AL
соответственно.
Отрезок PQ
— средняя линия треугольника AKL
, параллельная стороне KL
. Следовательно, по теореме Фалеса PQ
делит отрезок AC
пополам. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2020, заключительный этап, задача 4, 9 класс