12478. На стороне AB
равностороннего треугольника ABC
отмечены точки P
и Q
, а на сторонах BC
и AC
— точки R
, S
соответственно, причём AP=CS
и BQ=CR
. Докажите, что угол между отрезками PR
и QS
равен 60^{\circ}
.
Решение. Из равенств AP=CS
и BQ=CR
, получаем
BP=AB-AP=AC-CS=AS
и
BR=BC-CR=AB-BQ=AQ.
Значит, треугольники AQS
и BRP
равны по двум сторонами и углу между ними.
Пусть отрезки PR
и QS
пересекаются в точке K
. Тогда из доказанного равенства треугольников следует, что
\angle BPK=\angle BPR=\angle ASQ=\angle ASK,
поэтому
\angle APK=180^{\circ}-\angle BPK=180^{\circ}-\angle ASK.
Значит, четырёхугольник APKS
вписанный. Следовательно,
\angle PKQ=180^{\circ}-\angle PKS=\angle PAS=60^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2020, заключительный этап, задача 2, 10 класс