12479. Пусть точки O
и I
— центры соответственно описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
. Известно, что угол AIO
прямой, а угол CIO
равен 45^{\circ}
. Найдите отношение сторон AB:BC:CA
.
Ответ. 3:4:5
.
Решение. Поскольку
\angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC\gt90^{\circ}
(см. задачу 4770), луч IO
лежит между сторонами угла AIC
, так как в противном случае угол CIO
был бы равен сумме углов AIC
и AIO
и поэтому был бы больше 90^{\circ}
, что противоречит условию.
Значит,
\angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ},
откуда \angle ABC=90^{\circ}
, т. е. треугольник ABC
прямоугольный с гипотенузой AC
. Тогда центр O
его описанной окружности — середина гипотенузы AC
.
Пусть луч AI
пересекает катет BC
в точке K
. Тогда
\angle KIO=90^{\circ},~\angle CIK=90^{\circ}-\angle CIO=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},
а так как CI
— биссектриса угла KCO
, то треугольники CKI
и COI
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, IK=IO
, а треугольник KIO
прямоугольный и равнобедренный.
Отметим середину M
отрезка AI
. Тогда OM
— средняя линия треугольника ACI
, поэтому OM\parallel CI
, и \angle MOI=\angle CIO=45^{\circ}
. Значит, треугольник OIM
тоже прямоугольный и равнобедренный. Следовательно,
AM=IM=IO=IK.
Обозначим AM=t
. Тогда AI=2t
, IO=t
. Из прямоугольного треугольника AOI
по теореме Пифагора находим, что AO=t\sqrt{5}
. Тогда AC=2AO=2t\sqrt{5}
.
Пусть P
, Q
и H
— точки касания вписанной окружности треугольника ABC
со сторонами BC
, AB
и AC
соответственно. Тогда IP=IQ=IH=r
— радиус вписанной окружности. Отрезок IH
— высота прямоугольного треугольника AIO
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому
r=OH=\frac{IO\cdot IA}{AO}=\frac{t\cdot2t}{t\sqrt{5}}=\frac{2t}{\sqrt{5}}=\frac{2t\sqrt{5}}{5},
AQ=AH=\frac{AI^{2}}{AO}=\frac{4t^{2}}{t\sqrt{5}}=\frac{4t}{\sqrt{5}}=\frac{4t\sqrt{5}}{5}.
Тогда
CP=CH=AC-AH=2t\sqrt{5}-\frac{4t\sqrt{5}}{5}=\frac{6t\sqrt{5}}{5}.
Таким образом,
AC=2t\sqrt{5},~AB=AQ+BQ=\frac{4t\sqrt{5}}{5}+\frac{2t\sqrt{5}}{5}=\frac{6t\sqrt{5}}{5},
BC=CP+BP=\frac{6t\sqrt{5}}{5}+\frac{2t\sqrt{5}}{5}=\frac{8t\sqrt{5}}{5}.
Следовательно,
AB:BC:CA=\frac{6t\sqrt{5}}{5}:\frac{8t\sqrt{5}}{5}:2t\sqrt{5}=3:4:5.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2020, заключительный этап, задача 4, 11 класс