12480. В треугольнике ABC
угол A
равен 60^{\circ}
. Точки M
, N
и K
лежат на сторонах BC
, AC
и AB
соответственно, причём BK=KM=MN=NC
. Оказалось, что AN=2AK
. Найдите углы B
и C
.
Ответ. 75^{\circ}
, 45^{\circ}
.
Решение. В треугольнике AKN
сторона AN
вдвое больше стороны AK
, а угол между этими сторонами равен 60^{\circ}
, значит, этот треугольник прямоугольный с углом 90^{\circ}
при вершине K
(см. задачу 2643). Тогда \angle ANK=30^{\circ}
.
Обозначим \angle NCK=\angle NMC=\gamma
, тогда из суммы углов треугольника ABC
следует, что
\angle ABC=\angle KMB=120^{\circ}-\gamma,
откуда
\angle KMN=180^{\circ}-\angle KMB-\angle NMC=180^{\circ}-(120^{\circ}-\gamma)-\gamma=60^{\circ}.
Значит, равнобедренный треугольник KMN
— равносторонний, откуда \angle MNK=60^{\circ}
. Следовательно,
\angle CNM=180^{\circ}-\angle ANK-\angle MNK=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ},
\angle ACB=\angle MCN=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle MNC)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-90^{\circ})=45^{\circ},
\angle ABC=180^{\circ}-60^{\circ}-45^{\circ}=75^{\circ}.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2019, заключительный этап, задача 2, 7 класс