12481. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AD=BC
и \angle ADB+\angle ACB=\angle CAB+\angle DBA=30^{\circ}
. Докажите, что из отрезков DB
, CA
и DC
можно составить прямоугольный треугольник.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Тогда
\angle ADC+\angle DCB=\angle CDO+\angle DCO.
Значит,
\angle ADC+\angle DCB=
=(\angle ADB+\angle BDC)+(\angle ACD+\angle ACB)=
=(\angle ADB+\angle ACB)+(\angle BDC+\angle ACD)=
=30^{\circ}+(\angle BDC+\angle ACD)=30^{\circ}+(\angle OAB+\angle OBA)=
=30^{\circ}+(\angle CAB+\angle DBA)=30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}.
Тогда
\angle DAB+\angle ABC=360^{\circ}-(\angle ADC+\angle DCB)=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}.
Построим вне четырёхугольника ABCD
точку X
, для которой треугольник ABX
равносторонний. Заметим, что
\angle DAX=360^{\circ}-\angle XAB-\angle DAB=300^{\circ}-\angle DAB=\angle ABC,
\angle XBC=360^{\circ}-\angle XBA-\angle ABC=300^{\circ}-\angle ABC=\angle DAB.
Тогда треугольники XAD
и ABC
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому AC=DX
. Аналогично, равны треугольники DAB
и XBC
, поэтому BD=XC
. Кроме того,
\angle DXC=\angle DXA+\angle AXB+\angle BXC=
=\angle CAB+60^{\circ}+\angle DBA=60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, треугольник XDC
искомый.