12482. На продолжении медианы AM
равнобедренного треугольника ABC
с основанием AC
за точку M
взята такая точка P
, что \angle CBP=\angle BAP
. Найти угол ACP
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Пусть T
— точка пересечения медианы AM
и высоты треугольника ABC
, опущенной из вершины B
. В равнобедренном треугольнике ABC
эта высота является серединным перпендикуляром к отрезку AC
, поэтому AT=CT
, BT\perp AC
и
\angle BCT=\angle BAT=\angle BAP=\angle CBP.
Следовательно, BP\parallel CT
, а так как треугольники BMP
и CMT
равны (по стороне и прилежащим к ней двум углам), то BP=CT
. Значит, BPCT
— параллелограмм. Тогда PC\parallel BT
, а так как BT\perp AC
, то PC\perp AC
. Таким образом \angle ACP=90^{\circ}
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2019, заключительный этап, задача 4, 9 класс