12483. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность. Известно, что BC=DC
, AB=AC
. Пусть P
— середина дуги CD
, не содержащей точку A
, и Q
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
. Доказать, что прямые PQ
и AB
перпендикулярны.
Решение. Вписанные углы BAC
и BDC
опираются на одну и ту же дугу, а вписанные углы BAC
и DAC
опираются на равные хорды BC
и CD
, поэтому
\angle QBC=\angle DBC=\angle DAC=\angle BAC.
Значит, треугольник CBQ
подобен равнобедренному треугольнику CAB
по двум углам. Следовательно, и треугольник CBQ
равнобедренный. Кроме того, треугольник DAQ
подобен равнобедренному треугольнику CBQ
, поэтому треугольник DAQ
тоже равнобедренный.
Точка P
— середина дуги CD
, на которую опираются вписанные углы DBC
и DAC
, значит, BP
и AP
— биссектрисы углов CBD
и DAC
, а значит, и углов при вершинах B
и A
равнобедренных треугольников CBQ
и DAQ
соответственно. Тогда на прямых BP
и AP
лежат высоты этих треугольников. Таким образом, BP\perp AQ
и AP\perp BQ
, поэтому точка P
— ортоцентр треугольника AQB
. Значит, на прямой PQ
лежит третья высота этого треугольника. Следовательно, PQ\perp AB
. Что и требовалось доказать.