12486. В треугольнике ABC
провели биссектрису BE
. Оказалось, что BC+CE=AB
. Докажите, что в треугольнике ABC
есть два угла, один из которых в два раза больше другого.
Решение. На продолжении стороны BC
за точку C
отложим отрезок CD=CE
. Пусть продолжение биссектрисы BE
пересекает отрезок AD
в точке H
. Поскольку
BD=BC+CD=BC+CE=AB,
треугольник ABD
равнобедренный, значит, его биссектриса BH
является медианой и высотой. Тогда она является медианой и высотой в треугольнике AED
, поэтому треугольник AED
тоже равнобедренный.
Обозначим \angle EAD=\angle EDA=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника \angle CED=2\alpha
, а так как треугольник DCE
равнобедренный по построению, то \angle EDC=\angle CED=2\alpha
. Тогда
\angle ADB=\angle ADE+\angle EDC=\alpha+2\alpha=3\alpha.
Значит,
\angle BAE=\angle BAD-\angle EAH=3\alpha-\alpha=2\alpha,
а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ACB=\angle CAD+\angle ADC=\alpha+3\alpha=4\alpha,
то \angle ACB=2\angle BAC
. Что и требовалось.