12488. В четырёхугольнике ABCD
равные диагонали AC
и BD
пересекаются в точке O
, а точки P
и Q
— середины сторон AB
и CD
соответственно. Докажите, что биссектриса угла AOD
перпендикулярна отрезку PQ
.
Решение. Отметим середину M
стороны BC
. Отрезки PM
и QM
— средние линии треугольников ABC
и BCD
, поэтому PM\parallel AC
, QM\parallel BD
и
PM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=QM.
Треугольник PMQ
равнобедренный, поэтому его биссектриса, проведённая и вершины M
, перпендикулярна основанию PQ
. Стороны угла AOD
соответственно сонаправлены сторонам угла PMQ
, значит, биссектрисы этих углов параллельны. Следовательно, биссектриса угла AOD
тоже перпендикулярна отрезку PQ
. Что и требовалось доказать.