12489. Внутри остроугольного треугольника ABC
выбрали точку P
, отличную от центра O
описанной окружности треугольника ABC
, для которой \angle PAC=\angle PBA
и \angle PAB=\angle PCA
. Докажите, что \angle APO=90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle PAC=\angle PBA=\alpha
, а \angle PAB=\angle PCA=\beta
. Тогда
\angle BAC=\alpha+\beta,~
\angle BPC=360^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha-\beta)-(180^{\circ}-\alpha-\beta)=
=2(\alpha+\beta)=2\angle BAC=\angle BOC,
так как центральный угол BOC
вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
. Следовательно, точки B
, O
, P
, C
лежат на одной окружности. Точка O
попадает тогда в один из треугольников PAB
или PAC
, будем считать, что в треугольник APB
, так как не может лежать внутри треугольнике BPC
или на его сторонах (тогда угол BOC
был бы больше угла BPC
). В этом случае
\angle APO=\angle APB-\angle OPB=\angle APB-\angle OCB=
=(180^{\circ}-\alpha-\beta)-\frac{1}{2}(180^{\circ}-2\alpha-2\beta)=90^{\circ}.