12494. В параллелограмме ABCD
на стороне AD
взята произвольная точка M
. Через неё проведены прямые параллельно диагоналям, пересекающие стороны AB
и CD
соответственно в точках P
и Q
. Доказать, что площади треугольников MPB
и MQC
равны.
Решение. Обозначим AM=a
, AD=b
, AB=CD=c
. Пусть расстояние между прямыми AB
и CD
равно h
. Тогда по теореме Фалеса
\frac{BP}{AP}=\frac{DM}{AM}=\frac{b}{a},~\frac{CQ}{DQ}=\frac{AM}{MD}=\frac{a}{b}.
Значит,
BP=c\cdot\frac{b}{a+b}=\frac{bc}{a+b},~CQ=c\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ac}{a+b}.
Пусть ME
и MF
высоты треугольников MBP
и MQC
соответственно. Тогда точки E
, M
и F
лежат на одной прямой, а EF=h
. Прямоугольные треугольники AEM
и DFM
подобны, поэтому
\frac{ME}{MF}=\frac{AM}{MD}=\frac{a}{b}.
Значит,
ME=EF\cdot\frac{a}{a+b}=\frac{ah}{a+b},~MF=EF\cdot\frac{b}{a+b}=\frac{bh}{a+b}.
Тогда
S_{\triangle MPB}=\frac{1}{2}BP\cdot ME=\frac{1}{2}\cdot\frac{bc}{a+b}\cdot\frac{ah}{a+b}=\frac{abch}{2(a+b)^{2}},
S_{\triangle MQC}=\frac{1}{2}CQ\cdot MF=\frac{1}{2}\cdot\frac{ac}{a+b}\cdot\frac{bh}{a+b}=\frac{abch}{2(a+b)^{2}}.
Следовательно, S_{\triangle MPB}=S_{\triangle MQC}
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2015, заключительный этап, задача 2, 9 класс