12498. Стороны вписанного четырёхугольника в порядке следования по часовой стрелке равны соответственно 6, 3, 5, 4. Найдите угол между сторонами, равными 6 и 3.
Ответ. \arccos\frac{1}{19}
.
Решение. Пусть ABCD
— данный четырёхугольник, причём AB=6
, BC=3
, CD=5
, DA=4
. Выразим квадрат диагонали AC
по теореме косинусов из треугольников ABC
и ADC
, учитывая, что сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180^{\circ}
. Получим
6^{2}+3^{2}-2\cdot6\cdot3\cos\angle D=5^{2}+4^{2}-2\cdot5\cdot4\cos(180^{\circ}-\angle D),
или
45-36\cos\angle D=41+40\cos\angle D,
откуда находим, что \cos\angle D=\frac{1}{19}
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2014, заключительный этап, задача 1, 11 класс