12500. Окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в двух точках A
и B
. Пусть P
и Q
— точки пересечения окружности, описанной около треугольника AO_{1}O_{2}
с первой и второй окружностями соответственно. Докажите, что отрезки O_{1}Q
и O_{2}P
пересекаются в точке B
.
Решение. Достаточно доказать, что точка B
лежит на прямых O_{1}Q
и O_{2}P
. Треугольники O_{1}BO_{2}
и O_{1}AO_{2}
равны по трём сторонам, поэтому \angle BO_{1}O_{2}=\angle AO_{1}O_{2}
. С другой стороны, O_{2}Q=O_{2}A
как радиусы одной окружности. Тогда \angle QO_{1}O_{2}=\angle AO_{1}O_{2}
как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. Значит, \angle QO_{1}O_{2}=\angle BO_{1}O_{2}
. Следовательно, лучи O_{1}B
и O_{1}Q
совпадают, а тогда точки O_{1}
, B
и Q
лежат на одной прямой. Аналогично для точек O_{2}
, B
и P
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013, заключительный этап, задача 3, 10 класс