12501. Периметр треугольника ABC
равен 24, а отрезок, соединяющий точку пересечения его медиан с точкой пересечения его биссектрис, параллелен стороне AC
. Найдите AC
.
Ответ. 8.
Решение. Пусть AK
и BN
— медианы, M
— точка пересечения медиан треугольника ABC
, I
— точка пересечения его биссектрис AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
.
По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BI}{IB_{1}}=\frac{BM}{MN}=2,
а так как AI
и CI
— биссектрисы треугольников ABB_{1}
и CBB_{1}
, то
\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{BI}{IB_{1}}=\frac{BC}{CB_{1}}=2.
Положим AB=2x
, AB_{1}=x
, BC=2y
, CB_{1}=y
. Тогда
AC=AB_{1}+CB_{1}=x+y,
а периметр треугольника ABC
равен 3(x+y)=24
. Следовательно,
AC=x+y=8.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013, заключительный этап, задача 3, 11 класс