12512. На сторонах треугольника ABC
построены три подобных треугольника BCR
, ABQ
, и ACP
(при подобии соответствующим являются их вершины в том порядке, в каком написаны), как показано на рисунке. Докажите, что четырёхугольник PQBR
— параллелограмм.
Решение. Из условия следует, что
\angle PAQ=\angle PAB+\angle BAQ=\angle PAB+\angle CAP=\angle BAC~\mbox{и}~\frac{AQ}{AP}=\frac{AB}{AC},
Значит, треугольник AQP
подобен треугольнику ABC
по двум сторонам и углу между ними. Аналогично, треугольник PRC
подобен треугольнику ABC
. Значит, треугольники AQP
и PRC
подобны.
Пусть углы при соответствующих вершинах A
, B
и C
подобных треугольников ABQ
, BCR
и ACP
равны \alpha
, а углы при соответствующих вершинах B
, C
и C
этих треугольников равны \gamma
. Тогда
\angle BRP=\angle BRC-\angle CRP=(180^{\circ}-\alpha-\gamma)-\angle ABC,
\angle RBQ=\angle RBC+\angle ABC+\angle ABQ=\alpha+\angle ABC+\gamma,
поэтому
\angle BRP+\angle RBQ=180^{\circ}.
Значит, PR\parallel QB
. Аналогично докажем, что BR\parallel QP
. Следовательно, PQBR
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009, заключительный этап, задача 5, 9 класс