12513. На стороне AC
остроугольного треугольника ABC
взята произвольная внутренняя точка P
. Точки S
и T
— основания перпендикуляров, опущенных из точки P
на AB
и BC
соответственно. Докажите, что серединный перпендикуляр к отрезку ST
делит отрезок BP
пополам.
Решение. Из точек S
и T
отрезок BP
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BP
. Поскольку центр окружности равноудалён от концов хорды, он лежит на серединном перпендикуляре к ней. В нашем случае серединный перпендикуляр к хорде ST
проходит через центр окружности, т. е. через середину диаметра BP
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009, заключительный этап, задача 2, 10 класс