12514. В параллелограмме ABCD
стороны AB
и BC
равны соответственно 10 и 15, \angle DAB=\arccos\frac{3}{5}
. Внутри ABCD
выбрана такая точка M
, что MC=3\sqrt{10}
, а расстояние от M
до прямой AD
равно 5. Найдите AM
.
Ответ. 13.
Решение. Обозначим \angle BAD=\alpha
. Тогда \cos\alpha=\frac{3}{5}
, а \sin\alpha=\frac{4}{5}
.
Пусть B_{1}
— проекция вершины B
на прямую AD
, а M_{1}
и M_{2}
— проекции точки M
на прямые AD
и BC
соответственно. Из прямоугольного треугольника ABB_{1}
находим, что
BB_{1}=AB\sin\alpha=10\cdot\frac{4}{5}=8,AB_{1}=AB\cos\alpha=10\cdot\frac{3}{5}=6.
Тогда
MM_{2}=M_{1}M_{2}-MM_{1}=BB_{1}-MM_{1}=8-5=3.
По теореме Пифагора
CM_{2}=\sqrt{CM^{2}-MM_{2}^{2}}=\sqrt{90-9}=9,
поэтому
M_{1}B_{1}=M_{2}B=BC-CM_{2}=15-9=6,~AM_{1}=AB_{1}+M_{1}B_{1}=6+6=12.
Следовательно,
AM=\sqrt{AM_{1}^{2}+MM_{1}^{2}}=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009, заключительный этап, задача 3, 11 класс