12517. На катетах CA
, CB
и гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
вне его построены равносторонние треугольники ACM
, BCH
и ABP
соответственно. Докажите, CP=MH
.
Решение. Треугольники BAM
и PAC
равны по двум сторонам (AB=AP
, AM=AC
) и углу между ними, так как
\angle BAM=\angle BAC+\angle CAM=\angle BAC+60^{\circ}=\angle BAC+\angle BAP=\angle PAC.
Значит, CP=MB
.
Треугольники BCM
и HCM
также равны по двум сторонам (BC=HC
, CM
— общая сторона) и углу между ними, так как
\angle BCM=90^{\circ}+60^{\circ}=150^{\circ}
и
\angle HCM=360^{\circ}-(60^{\circ}+90^{\circ}+60^{\circ})=150^{\circ}.
Значит, MB=MH
. Следовательно, CP=MH
.