12520. Дан треугольник ABC
, в котором выбраны точка D
на стороне BC
и точка H
на стороне AC
. Кроме того проведена DK
— биссектриса треугольника BDA
. Оказалось, что углы CHD
и HDK
прямые. Найдите HC
, если AC=2
.
Ответ. 1.
Решение. Поскольку углы CHD
и HDK
прямые, KD\parallel AC
. Тогда углы HAD
и ADK
равны как накрест лежащие, а углы DCA
и BDK
— как соответственные. Но DK
— биссектриса, поэтому \angle DAC=\angle DCA
. Тогда треугольник ADC
равнобедренный, HD
— его высота, а значит, медиана. Следовательно, HC=\frac{1}{2}AC=1
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2017-2018, первый этап, задача 3, 8 класс