12522. В квадрат ABCD
вписана окружность, касающаяся его сторон AB
, BC
, CD
, DA
в точках P
, Q
, R
и S
соответственно. На отрезках AP
и AS
взяты точки M
и N
так, что отрезок MN
касается вписанной в квадрат окружности. Докажите, что MC\parallel NR
.
Решение. Для удобства вычислений сторону квадрата примем равной 2. Обозначим AN=x
и AM=y
. Пусть MN
касается окружности в точке K
. Тогда
NK=NS=AS-AN=1-x,~MK=MP=AP-AM=1-y,
MN=MK+NK=2-(x+y).
По теореме Пифагора
MN^{2}=AN^{2}+AM^{2},~\mbox{или}~x^{2}+y^{2}=(2-(x+y))^{2},
откуда
2(x+y)-xy=2.
Тогда
BM\cdot DN=(2-x)(2-y)=4-2(x+y)+xy=
=4-(2(x+y)-xy)=4-2=2.
Значит,
\frac{BM}{BC}=\frac{BM}{2}=\frac{\frac{2}{DN}}{2}=\frac{1}{DN}=\frac{DR}{DN}.
Следовательно, прямоугольные треугольники BMC
и DRN
подобны. Тогда \angle BCM=\angle DNR
, а значит, MC\parallel NR
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2017-2018, первый этап, задача 4, 10 класс