12523. Могут ли биссектрисы двух соседних внешних углов треугольника (примыкающих к некоторой его стороне) пересекаться на его описанной окружности?
Ответ. Не могут.
Решение. Возьмём соседние внешние углы треугольника ABC
, примыкающие к его стороне BC
. Пусть P
— точка пересечения их биссектрис, а \angle BAC=\alpha
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle BPC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Предположим, точка P
лежит на описанной окружности треугольника ABC
. Тогда четырёхугольник ABPC
вписанный, поэтому
\angle BPC+\angle BAC=180^{\circ},~\mbox{или}~\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)+\alpha=180^{\circ},
откуда \alpha=180^{\circ}
, что невозможно.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2017-2018, первый этап, задача 2, 11 класс