12524. В треугольнике ABC
на сторонах BC
и AC
взяты точки M
и N
соответственно. Отрезки AM
и BN
пересекаются в точке O
. Докажите, что сумма углов AMB
и ANB
больше угла AOB
.
Решение. Рассмотрим четырёхугольник NOMC
. Сумма его углов равна
360^{\circ}=\angle MON+\angle ONC+\angle NCM+\angle CMO=
=\angle AOB+(180^{\circ}-\angle ANB)+\angle NCM+(180^{\circ}-\angle AMB),
откуда следует, что
\angle ANB+\angle AMB=\angle AOB+\angle NCM,
а так как величина \angle NCM
положительная, то
\angle AMB+\angle ANB\gt\angle AOB.