12525. На плоскости дан отрезок AB
и на нём произвольная точка M
. На отрезках AM
и MB
как на сторонах построены квадраты AMCD
и MBEF
, лежащие по одну сторону от AB
, и N
— точка пересечения прямых AF
и BC
. Докажите, что при любом положении точки M
на отрезке AB
каждая прямая MN
проходит через некоторую точку S
, общую для всех таких прямых.
Решение. Без ограничения общности рассмотрим случай, когда AM\lt BM
.
Поскольку MA=MC
и MF=MB
, прямоугольные треугольники AMF
и CMB
равны по двум катетам. Значит,
\angle NAM=\angle FAM=\angle BCM=\angle FCN=180^{\circ}-\angle NCM.
Следовательно, четырёхугольник AMCN
вписанный, т. е. точка N
лежит на окружности, описанной около треугольника AMC
, а значит, описанной около квадрата AMCD
. Вписанные в эту окружность углы ANM
и ACM
опираются на сторону AM
этого квадрата, поэтому
\angle ANM=\angle ACM=45^{\circ},
причём AC
— диаметр окружности. Следовательно,
\angle ANB=\angle ANC=90^{\circ},
а луч NM
— биссектриса прямого угла ANB
.
Точка N
лежит на окружности с диаметром AB
. Пусть луч NM
пересекает эту окружность в точке S
. Тогда S
— середина не содержащей точки N
дуги этой окружности, поэтому она не зависит от выбора точки M
на отрезке AB
. Следовательно, S
— фиксированная точка, через которую проходит каждая прямая MN
.