12528. Две окружности пересекаются в точках A
и B
, и центр O
первой из них лежит на второй. На второй окружности выбрана некоторая точка S
. Отрезок SO
пересекает первую окружность в точке P
. Доказать, что P
— центр вписанной окружности треугольника ABS
.
Решение. По условию отрезок SO
пересекает первую окружность, значит, точка S
лежит на дуге второй окружности, не содержащей точку O
.
Достаточно доказать, что P
— точка пересечения двух биссектрис треугольника ABS
. Хорды OA
и OB
второй окружности равны как радиусы первой окружности, поэтому равны опирающиеся на них вписанные углы ASO
и BSO
, т. е. SP
— биссектриса угла ASB
.
Биссектриса угла — ось симметрии угла, а первая окружность симметрична относительно прямой SO
, проходящей через центр этой окружности (см. задачу 1677). Следовательно, при симметрии относительно прямой SO
первая окружность переходит в себя, а луч SA
— в луч SB
. Значит, точка A
пересечения первой окружности с лучом SA
, переходит в точку Q
пересечения этой окружности с отрезком SB
, поэтому AP=QP
. Значит, вписанные углы ABP
и QBP
первой окружности опираются на равные хорды. Следовательно, они равны, т. е. луч BP
— биссектриса угла ABS
. Тогда P
— точка пересечения биссектрис треугольника ABS
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2015-2016, первый этап, задача 4, 11 класс