12535. Четырёхугольник ABCD
таков, что \angle BCD=\angle ABC=120^{\circ}
и BC+CD=AD
. Докажите, что AB=CD
.
Решение. Продолжим стороны AB
и CD
и до пересечения в точке E
. В треугольнике BED
два угла равны 60^{\circ}
, значит, треугольник равносторонний. Следовательно,
ED=EC+CD=BC+CD=AD,
т. е. треугольник AED
равнобедренный с углом 60^{\circ}
, а значит, равносторонний. Таким образом, AE=ED
, и поэтому
AB=AE-BE=DE-CE=CD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, первый этап, задача 4, 8 класс