12536. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
биссектриса AK
вдвое больше высоты AH
. Найдите углы этого треугольника.
Ответ. 20^{\circ}
, 20^{\circ}
и 140^{\circ}
.
Решение. Пусть угол при основании треугольника ABC
равен \varphi
. В прямоугольном треугольнике AHK
катет AH
вдвое меньше гипотенузы AK
, поэтому \angle AKH=30^{\circ}
, а \angle KAH=60^{\circ}
. Рассмотрим три случая.
1) Треугольник ABC
остроугольный и точка H
расположена на отрезке CK
. Тогда луч AH
проходит между сторонами угла CAK
, поэтому
\frac{\varphi}{2}=\angle CAK\gt\angle KAH=60^{\circ},
откуда \varphi\gt120^{\circ}
, что невозможно.
2) Треугольник ABC
остроугольный и точка H
расположена на отрезке BK
. Тогда луч AH
проходит между сторонами угла BAK
, поэтому
\frac{\varphi}{2}=\angle BAK\gt\angle KAH=60^{\circ},
откуда \varphi\gt120^{\circ}
, что невозможно.
3) Треугольник ABC
тупоугольный. Поскольку AKB
— внешний угол треугольника AKC
, то
30^{\circ}=\frac{\varphi}{2}+\varphi,
откуда \varphi=20^{\circ}
. Следовательно,
\angle ACB=\angle CAB=\varphi=20^{\circ},~\angle ABC=140^{\circ}.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, первый этап, задача 4, 9 класс