12538. В трапеции ABCD
боковая сторона AB
равна 5, биссектриса угла A
пересекает боковую сторону CD
в её середине P
, AP=4
. Найти BP
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть прямые BP
и AD
пересекаются в точке Q
. Треугольники BPC
и QPD
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому BP=PQ
. Значит, в треугольнике ABQ
биссектриса AP
является медианой, следовательно, этот треугольник равнобедренный. Тогда AP
— его высота, а треугольник APB
прямоугольный с гипотенузой AB=5
и катетом AP=4
. По теореме Пифагора находим, что BP=3
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, первый этап, задача 3, 10 класс