12539. Две одинаковые пересекающиеся окружности с центрами A
и B
расположены так, что центр каждой лежит вне другой. Обозначим их точки пересечения за P
и Q
, вторую точку пересечения луча AP
со второй окружностью — за L
, а точку пересечения луча AB
со второй окружностью — за M
, при этом точка B
лежит между A
и M
. Докажите, что угол LBM
втрое больше угла LAM
.
Решение. Отрезки AP
, PB
и BL
равны как радиусы одинаковых окружностей, поэтому треугольники APB
и PBL
равнобедренные. Обозначим \angle PAB=\varphi
. Тогда, учитывая, что BPL
— внешний угол равнобедренного треугольника APB
, а LBM
— внешний угол треугольника ABL
, получим
\angle LBM=\angle ALB+\angle BAL=\angle BPL+\angle BAP=
=\angle PAB+\angle PBA+\angle BAP=\varphi+\varphi+\varphi=3\varphi.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, первый этап, задача 2, 11 класс