12542. Внутри прямоугольного треугольника со сторонами 3, 4 и 5 расположены две окружности, отношение радиусов которых равно 9 к 4. Окружности касаются друг друга внешним образом, обе касаются гипотенузы, одна — одного катета, другая — другого. Найдите радиусы окружностей.
Ответ. \frac{45}{47}
, \frac{20}{47}
.
Решение. Пусть ABC
— треугольник, в котором BC=3
, AC=4
, AB=5
. Тогда \angle ACB=90^{\circ}
. Обозначим \angle BAC=\alpha
и \angle ABC=\beta
. Тогда
\sin\alpha=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\sin\beta=\frac{4}{5},~\cos\beta=\frac{3}{5},
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{1+\frac{4}{5}}=\frac{1}{3},
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sin\beta}{1+\cos\beta}=\frac{\frac{4}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{1}{2}.
Пусть меньшая окружность радиуса 4x
с центром O_{1}
касается гипотенузы AB
в точке M
, а большая окружность с центром O_{2}
и радиусом 9x
— в точке N
. Тогда (см. задачу 365)
MN=2\sqrt{9x\cdot4x}=12x.
Предположим, что меньшая окружность вписана в угол BAC
, а большая окружность вписана в угол ABC
. Из прямоугольных треугольников AMO_{1}
и BNO_{2}
получаем, что
AM=\frac{O_{1}M}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{4x}{\frac{1}{3}}=12x,~BN=\frac{O_{2}N}{\tg\frac{\beta}{2}}=\frac{9x}{\frac{1}{2}}=18x,
а так как
AM+MN+NB=AB,
то
12x+12x+18x=5,
откуда x=\frac{5}{42}
. Проверим, действительно ли обе окружности лежат внутри треугольника ABC
, т. е. верно ли, что расстояние O_{2}Q
от точки O_{2}
до катета AC
не больше радиуса 9x=\frac{15}{14}
, а расстояние от точки O_{1}
до катета BC
не больше радиуса 4x=\frac{10}{21}
.
Пусть большая окружность касается катета BC
в точке L
. Тогда расстояние O_{2}Q
от точки O_{2}
до катета AC
равно
CL=BC-BL=BC-BN=3-18x=3-18\cdot\frac{5}{42}=\frac{6}{7}=\frac{12}{14}\lt\frac{15}{14},
т. е. радиус большей окружности больше расстояния от её центра до катета AC
. Следовательно, рассматриваемый случай не удовлетворяет условию задачи.
Остаётся случай, когда меньшая окружность вписана в угол ABC
и касается катета BC
в точке L
, а большая окружность вписана в угол BAC
и касается катета AC
в точке K
. Тогда
AN=9x\cdot3=27x,~BM=4x\cdot2=8x,
27x+12x+8x=47x=5,~x=\frac{5}{47},
O_{2}N=9x=\frac{45}{47},~O_{1}M=4x=\frac{20}{47}.
При этом расстояние O_{2}E
от центра большей окружности до прямой BC
не меньше её радиуса, так как
O_{2}E=AC-AK=AC-AN=4-27x=4-27\cdot\frac{5}{47}=\frac{53}{47}\gt\frac{45}{47}=9x,
а расстояние O_{1}D
от центра меньшей окружности до прямой AC
тоже не меньше её радиуса, так как
O_{1}D=BC-BL=BC-BM=3-8x=3-8\cdot\frac{5}{47}=\frac{101}{47}\gt\frac{20}{47}=4x.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2012-2013, первый этап, задача 4, 11 класс