12544. Дан параллелограмм ABCD
с острым углом A
. Точка E
лежит на стороне AD
, причём AE=4
и BE=3
. Точка F
— проекция вершины B
на прямую CD
, BF=5
. Найдите EF
.
Ответ. \sqrt{10}
.
Решение. Заметим, что углы BAD
и FBE
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.
На луче AD
отложим отрезок AP=3
. Тогда PE=1
, а треугольники BAP
и FBE
равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
EF=BP=\sqrt{BE^{2}+PE^{2}}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1978, № 9, задача 322, с. 254
Источник: Математические олимпиады США. — 1977