12545. Дан треугольник ABC
, в котором \angle C=60^{\circ}
, \angle A\gt\angle B
, а CE
— биссектриса треугольника. Найдите \angle B
, если отрезок CE
— среднее геометрическое отрезков AE
и BE
.
Ответ. 15^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle A=\alpha
и \angle B=\beta
. Тогда
\alpha+\beta=120^{\circ}~\Rightarrow~\alpha=120^{\circ}-\beta.
По условию задачи CE^{2}=AE\cdot BE
, или
1=\frac{CE^{2}}{AE\cdot BE}=\frac{CE}{AE}\cdot\frac{CE}{BE}.
По теореме синусов из треугольников AEC
и BEC
получаем
\frac{CE}{AE}=\frac{\sin\alpha}{\sin30^{\circ}}=2\sin(120^{\circ}-\beta),~\frac{CE}{AE}=\frac{\sin\beta}{\sin30^{\circ}}=2\sin\beta.
После перемножения этих равенств получим
\frac{CE^{2}}{AE\cdot BE}=1=2\sin(120^{\circ}-\beta)\cdot2\sin\beta=2(\cos(120^{\circ}-2\beta)-\cos120^{\circ})=
=-2\cos(2\beta+60^{\circ})+1,=
откуда \cos(2\beta+60^{\circ})=0
. Тогда
2\beta+60^{\circ}=90^{\circ}~\mbox{или}~2\beta+60^{\circ}=270^{\circ}.
В первом случае \beta=15^{\circ}
, во втором — \beta=105^{\circ}
, что противоречит условию \alpha\gt\beta
. Следовательно, \beta=15^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1976, № 8, задача 148, с. 183