12550. Пусть a\gt b
— стороны треугольника ABC
, а h_{a}
и h_{b}
— высоты треугольника, проведённые к этим сторонам соответственно. Докажите, что a+h_{a}\geqslant b+h_{b}
. Когда в неравенстве достигается равенство?
Ответ. Равенство достигается тогда и только тогда, когда угол \angle ACB=90^{\circ}
.
Решение. Выразим площадь треугольника двумя способами:
S=\frac{1}{2}ah_{a}=\frac{1}{2}bh_{b}.
Тогда
h_{a}=\frac{2S}{a},~h_{b}=\frac{2S}{b},
поэтому
a+h_{a}\geqslant b+h_{b}~\Leftrightarrow~a-b\geqslant h_{b}-h_{a}=2S\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right)=2S\cdot\frac{a-b}{ab},
а так как a-b\gt0
, то
a-b\geqslant2S\cdot\frac{a-b}{ab}~\Leftrightarrow~1\geqslant\frac{2S}{ab}~\Leftrightarrow~\frac{ab}{2}\geqslant S=\frac{ah_{a}}{2}~\Leftrightarrow~b\geqslant h_{a}.
Последнее неравенство верно, так как наклонная AC
к прямой BC
не меньше перпендикуляра h_{a}
из точки A
к прямой BC
. Равенство достигается только в случае, когда \angle ACB=90^{\circ}
.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2019-2020, второй этап, задача 3, 9 класс