12551. Пусть E
— точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD
, а A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
и A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
, D_{2}
— точки пересечения медиан и высот в треугольниках AEB
, BEC
, CED
и DEA
соответственно. Докажите, что четырёхугольники A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
подобны.
Решение. Достаточно доказать, что все соответствующие углы четырёхугольников A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
были равны, а соответствующие стороны — пропорциональны (только в случае треугольников второе условие эквивалентно первому).
Пусть A_{3}
, B_{3}
, C_{3}
, D_{3}
— середины сторон AB
, BC
, CD
и DA
соответственно. Стороны A_{3}B_{3}
, B_{3}C_{3}
, C_{3}D_{3}
, D_{3}A_{3}
четырёхугольника A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}
— средние линии треугольников ABC
, BCD
, CDA
, DAB
соответственно, поэтому A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}
— параллелограмм, стороны которого параллельны диагоналям AC
и BD
и вдвое короче AC
и BD
. Отрезки EA_{3}
, EB_{3}
, EC_{3}
, ED_{3}
— медианы треугольников AEB
, BEC
, CED
и DEA
соответственно, поэтому эти отрезки делятся точками A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
в одинаковом отношении 2:1
.
При гомотетии с центром E
и коэффициентом \frac{1}{2}
параллелограмм A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}
переходит в четырёхугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
, значит, A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
— параллелограмм, подобный параллелограмму A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}
с коэффициентом \frac{1}{2}
.
Далее заметим, что точки A_{2}
, B_{2}
, C_{2}
. D_{2}
— это все точки пересечения пар параллельных прямых, содержащих высоты AA_{2}
, CC_{2}
и BB_{2}
, DD_{2}
, соответственно перпендикулярных диагоналям BD
и AC
. Следовательно, стороны четырёхугольника A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
лежат на этих прямых и перпендикулярны им. Значит, A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
— параллелограммом, углы между сторонами которого равны углам между диагоналями четырёхугольника ABCD
.
Расстояние между прямыми AA_{2}
и CC_{2}
(высота параллелограмма A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
) равно расстоянию между основаниями перпендикуляров, опущенных из точек A
и C
на диагональ BD
(проекции диагонали AC
на прямую DD
), т. е. отрезку AC
, умноженному на модуль косинуса угла AED
.
Сторона A_{2}B_{2}
равна расстоянию между AA_{2}
и CC_{2}
, делённому на синус угла B_{2}C_{2}D_{2}
, т. е. на синус угла AED
. Таким образом, отрезок A_{2}B_{2}
равен отрезку AC
, умноженному на (модуль) котангенса угла AED
. Аналогично находится и вторая сторона A_{2}D_{2}
параллелограмма A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
, равная диагонали BD
, умноженной на (модуль) котангенса угла AED
. Значит, A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
и A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}
— параллелограммы с равными соответствующими углами, и стороны которых пропорциональны. Значит, они подобны, причём коэффициент подобия равен 2|\ctg\angle AED|
.
Таким образом, каждый их параллелограммов A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
подобен параллелограмму A_{3}B_{3}C_{3}D_{3}
. Следовательно, параллелограммы A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
и A_{2}B_{2}C_{2}D_{2}
подобны.