12552. В равностороннем треугольнике ABC
через случайную точку внутри него провели три прямые: параллельно AB
до пересечения с BC
и CA
, параллельно BC
до пересечения с AB
и CA
, параллельно CA
до пересечения с BC
и AB
. Докажите, что сумма трёх полученных отрезков равна удвоенной стороне треугольника ABC
.
Решение. Через произвольную точку P
внутри равностороннего треугольника ABC
параллельно AC
проведём прямую, пересекающую стороны AB
и BC
в точках D
и G
соответственно; параллельно AB
— прямую, пересекающую стороны AC
и BC
в точках I
и F
соответственно, параллельно BC
— прямую, пересекающую стороны AB
и AC
в точках E
и H
соответственно.
Треугольники DEP
, PFG
, PIH
равносторонние, так как в них все углы по 60^{\circ}
. Четырёхугольник BFPE
— параллелограмм, поэтому PF=BE
. Аналогично, ADPI
— параллелограмм, поэтому AD=PI
. Следовательно,
EH+FI+GD=(EP+PH)+(FP+PI)+(GP+PD)=
=(EP+PD)+(FP+GP)+(PH+PI)=
=2ED+2PF+2PI=2ED+2BE+2AD=2AB.
Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2018-2019, второй этап, задача 3, 8 класс