12553. Вне параллелограмма ABCD
взята точка M
, причём угол MAB
равен углу MCB
и оба треугольника MAB
и MCB
расположены вне параллелограмма ABCD
. Докажите, что угол AMB
равен углу DMC
.
Решение. Достроим треугольник BCM
до параллелограмма BPMC
. Тогда
\angle BPM=\angle MCB=\angle MAB.
Из точек A
и B
, лежащих по одну сторону от прямой BM
, отрезок BM
виден под одним и тем же углом, значит, точки A
, P
, B
и M
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы AMB
и APB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны.
Поскольку PM=BC=AD
и PM\parallel BC\parallel AD
, четырёхугольник APMD
— тоже параллелограмм. Значит, PA\parallel MD
, а так как PB\parallel MC
, углы APB
и DMC
равны как углы с соответственно сонаправленными сторонами. Следовательно,
\angle AMB=\angle APB=\angle DMC.
Что и требовалось доказать.