12557. В треугольнике ABC
угол A
в два раза меньше угла C
, а BD
— высота. Докажите, что разность отрезков, на которые точка D
делит сторону AC
, равна одной из сторон треугольника ABC
.
Решение. Пусть \angle BAC=\alpha
. Тогда \angle ACM=2\alpha
. На продолжении отрезка CD
за точку D
отложим отрезок DK=CD
. В треугольнике BKC
отрезок BD
— медиана и высота, поэтому BK=BC
и \angle BKC=\angle BCK=2\alpha
. При этом точка K
лежит на отрезке AD
, так как иначе угол AKB
, равный \alpha
, был бы больше равного 2\alpha
внешнего угла BAC
треугольника ABK
.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABK=\angle BKC-\angle BAK=2\alpha-\alpha=\alpha=\angle BAK,
поэтому AK=BK
. Следовательно,
AD-DC=AD-DK=AK=BK=BC.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2016-2017, второй этап, задача 2, 8 класс