12560. В трапеции одна боковая сторона вдвое больше другой, а сумма углов при большем основании равна 120^{\circ}
. Найдите углы трапеции.
Ответ. 90^{\circ}
и 30^{\circ}
.
Решение. Пусть ABCD
— данная трапеция с основаниями AD\gt BC
, причём CD=2AB
и \angle BAD+\angle CDA=120^{\circ}
. Через вершину C
параллельно AB
проведём прямую, пересекающую основание AD
в точке E
. Тогда ABCE
— параллелограмм, CE=AB
и \angle CED=\angle BAD
.
В треугольнике CED
известно, что
\angle CED+\angle CDE=\angle BAD+\angle CDA=120^{\circ},
поэтому \angle DCE=60^{\circ}
. Таким образом в треугольнике CED
сторона CD
вдвое больше стороны CE
, а угол между этими сторонами равен 60^{\circ}
. Значит, треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине E
(см. задачу 2643). Следовательно,
\angle BAD+\angle CAE=90^{\circ},~\angle CDA=\angle CDE=30^{\circ}.