12561. Две окружности внешним образом касаются друг друга в точке P
. Прямая касается первой из них в точке A
и пересекает вторую в точках B
и C
(B
между A
и C
). Докажите, что AP
— биссектрисой угла, смежного с углом BPC
.
Решение. Продлим отрезок CP
за точку P
до пересечения с первой окружностью в точке M
и проведём через точку P
общую касательную двух окружностей. Пусть она пересекает прямую AC
в точке L
. Обозначим
\angle PAC=\beta,~\angle ACP=\gamma.
Поскольку LA=LP
, треугольник ALP
равнобедренный, поэтому
\angle APL=\angle PAL=\angle PAC=\beta.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle BPL=\angle BCP=\angle ACP=\gamma.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle APM=\angle PAC+\angle ACP=\beta+\gamma=\angle APL+\angle BPL=\angle APB.
Следовательно, луч PA
— биссектриса угла BMP
, т. е. угла, смежного с углом BPC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2015-2016, второй этап, задача 4, 10 класс