12562. Внутри окружности взята произвольная точка M
, отличная от центра окружности. Для каждой хорды окружности, проходящей через M
и отличной от диаметра, обозначим через C
точку пересечения касательных к окружности, проведённых через концы этой хорды. Докажите, что геометрическое место точек C
— прямая.
Решение. Рассмотрим произвольную хорду AB
окружности с центром O
радиуса R
, проходящую через точку M
. Пусть C
— точка пересечения касательных к окружности, проходящих через точки A
и B
. Докажем, что проекция E
точки C
на луч OM
постоянна. Это будет означать, что геометрическое место всех точек C
лежит на прямой m
, проходящей через точку E
перпендикулярно OM
.
Обозначим \angle OCE=\alpha
, \angle ACO=\angle BAO=\beta
. Поскольку MA\perp OC
и MO\perp CE
углы AMO
и OCE
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Значит, \angle AMO=\alpha
. Тогда по теореме синусов в треугольнике AMO
получим
\frac{AO}{\sin\alpha}=\frac{OM}{\sin\beta},~\mbox{или}~\frac{R}{\sin\alpha}=\frac{OM}{\sin\beta},
откуда OM=\frac{R\sin\beta}{\sin\alpha}
, а так как
OE=CO\sin\alpha=\frac{R}{\sin\beta}\cdot\sin\alpha=\frac{R\sin\alpha}{\sin\beta},
то
OM\cdot OE=\frac{R\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\frac{R\sin\alpha}{\sin\beta}=R^{2},
откуда OE=\frac{R^{2}}{OM}
. При этом R
и OM
— постоянные величины. Следовательно, отрезок OE
один и тот же для любой хорды AB
, проходящей через точку M
, а искомое ГМТ лежит на прямой m
, проходящей через точку E
перпендикулярно OM
.
Докажем теперь, что каждая точка прямой m
удовлетворяет условию задачи, т. е. что для любой точки C
прямой m
(проходящей через точку E
, удалённую от центра O
окружности на расстояние OE=\frac{R^{2}}{OM}
), перпендикулярной OM
, две касательные CA
и CB
, проведённые из этой к окружности таковы, что хорда AB
, соединяющая точки касания, проходит через точку M
.
Действительно, пусть указанная хорда AB
пересекается с OE
в точке M'
. Используя ранее введённые обозначения углов и аналогичные рассуждения, получим, что
OM'\cdot OE=\frac{R\sin\beta}{\sin\alpha}\cdot\frac{R\sin\alpha}{\sin\beta}=R^{2},
откуда
OM'=\frac{R^{2}}{OE}=OM.
Следовательно, точка M'
совпадает с M
. Что и требовалось.