12563. Аня нарисовала квадрат ABCD
. Затем она построила равносторонний треугольник ABM
так, что вершина M
оказалась внутри квадрата. Диагональ AC
пересекает треугольник в точке K
. Докажите, что CK=CM
.
Решение. Пусть диагональ AC
пересекает сторону BM
треугольника AMB
в точке K
. Поскольку BM=AB=BC
, треугольник CBM
равнобедренный, поэтому
\angle BMC=\angle BCM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CBM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ},
а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CKM=\angle KBC+\angle KCB=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}=\angle BMC=\angle KMC,
то треугольник KMC
равнобедренный с основанием KM
. Следовательно, CK=CM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2014-2015, второй этап, задача 3, 8 класс