12563. Аня нарисовала квадрат
ABCD
. Затем она построила равносторонний треугольник
ABM
так, что вершина
M
оказалась внутри квадрата. Диагональ
AC
пересекает треугольник в точке
K
. Докажите, что
CK=CM
.
Решение. Пусть диагональ
AC
пересекает сторону
BM
треугольника
AMB
в точке
K
. Поскольку
BM=AB=BC
, треугольник
CBM
равнобедренный, поэтому
\angle BMC=\angle BCM=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CBM)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ})=75^{\circ},

а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CKM=\angle KBC+\angle KCB=30^{\circ}+45^{\circ}=75^{\circ}=\angle BMC=\angle KMC,

то треугольник
KMC
равнобедренный с основанием
KM
. Следовательно,
CK=CM
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2014-2015, второй этап, задача 3, 8 класс