12564. На плоскости изображён треугольник, около которого описана окружность и в который вписана окружность. Треугольник стирают, оставляя одну его вершину и эти окружности. С помощью циркуля и линейки восстановите треугольник.
Решение. Заметим, что вписанная окружность находится внутри треугольника, а значит, внутри его описанной окружности
Пусть A
— оставшаяся вершина треугольника. Строим центр I
вписанной окружности. Пусть T
— точка, в которой луч AI
пересекает описанную окружность. С центром в точке M
проводим окружность радиусом TI
. Точки пересечения этой окружности с описанной окружностью есть вершины B
и C
искомого треугольника.
Действительно, поскольку T
— середина дуги BC
описанной окружности треугольника ABC
, AT
— биссектриса угла BAC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Тогда
\angle CBT=\angle CAT=\angle BAT=\frac{\alpha}{2},
а так как по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BIT=\angle BAI+\angle ABI=\frac{\alpha}{2}+\angle ABI,
и при этом
\angle TBI=\angle CBT+\angle CBI=\frac{\alpha}{2}+\angle CBI,
и треугольник BTI
равнобедренный, то
\frac{\alpha}{2}+\angle ABI=\frac{\alpha}{2}+\angle CBI.
Значит, \angle ABI=\angle CBI
, т. е. BI
— биссектриса угла ABC
, а I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, т. е. центр вписанной окружности этого треугольника. Отсюда следует доказываемое утверждение.