12568. В треугольнике ABC
точка K
— середина стороны BC
, а точка L
— середина медианы AK
. Известно, что центр описанной окружности треугольника KCL
лежит на стороне AC
и окружность пересекает эту сторону в точке M
, причём AC:AM=3:1
. Найдите отношение AB:BC:AC
.
Ответ. AB:BC:AC=\sqrt{6}:\sqrt{6}:3=\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{3}
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника KCL
, а радиус окружности равен r
. Точки M
и O
делят сторону AC
на три равных отрезка, M
— середина AO
, LM
— средняя линия треугольника AKO
, а KO
— средняя линия треугольника BCM
. Значит, LM\parallel KO\parallel BM
. Следовательно, точки B
, M
и L
лежат на одной прямой, причём
OC=OK=r,~BM=2OK=2r,~LM=\frac{1}{2}OK=\frac{1}{2}r.
Обозначим \angle KOC=\angle BMC=\alpha
. Из равнобедренного треугольника LOM
со сторонами OM=OL=r
и ML=\frac{r}{2}
находим, что
\cos\alpha=\frac{\frac{r}{4}}{r}=\frac{1}{4}.
По теореме косинусов
CK=\sqrt{OK^{2}+OC^{2}-2OK\cdot OC\cos\alpha}=\sqrt{r^{2}+r^{2}-2r\cdot r\cdot\frac{1}{4}}=r\sqrt{\frac{3}{2}}.
Значит,
BC=2CK=2r\sqrt{\frac{3}{2}}=r\sqrt{6}.
Также по теореме косинусов из треугольника AMK
со сторонами MA=r
, MB=2r
и углом между ними, равным 180^{\circ}-\alpha
, находим, что
AB=\sqrt{r^{2}+4r^{2}-2r\cdot2r\cos(180^{\circ}-\alpha)}=\sqrt{5r^{2}+4r\cos\alpha}=\sqrt{5r^{2}+4r^{2}\cdot\frac{1}{4}}=r\sqrt{6}.
Следовательно,
AB:BC:AC=r\sqrt{6}:r\sqrt{6}:3r=\sqrt{6}:\sqrt{6}:3=\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{3}.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2013-2014, второй этап, задача 4, 11 класс