12571. Описанный многоугольник пересечён прямой, которая делит его на две части равной площади и равного периметра. Докажите, что эта прямая проходит через центр вписанной окружности этого многоугольника.
Решение. Пусть прямая l
делит пополам периметр и площадь многоугольника, P
и Q
— её точки пересечения со сторонами A_{k}A_{k+1}
и A_{m-1}A_{m}
многоугольника (m\gt k+1
), O
— центр вписанной окружности многоугольника. Заметим, что длина ломаной PA_{k}\dots A_{m-1}Q
составляет половину периметра всего многоугольника. Тогда площадь многоугольника OPA_{k}\dots A_{m-1}Q
равна половине произведения длины этой ломаной на радиус вписанной окружности, т. е. половине площади многоугольника. Но по условию половине равна и площадь многоугольника PA_{k}\dots A_{m-1}Q
. Следовательно, точка O
лежит на отрезке PQ
, т. е. на прямой l
. Что и требовалось доказать.
Источник: Всесибирская физико-математическая олимпиада. — 2009-2010, второй этап, задача 5, 11 класс