12573. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
совпадают соответственно с центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ADC
. Известно, что AB=1
. Найдите длины остальных сторон и углы четырёхугольника.
Ответ. BC=CD=DA=1
, \angle A=\angle C=72^{\circ}
, \angle B=\angle D=108^{\circ}
.
Решение. Центр I
вписанной окружности треугольника ABC
совпадает с центром окружности, проходящей через точки A
и C
, значит, он лежит на серединном перпендикуляре к диагонали AC
. Тогда AO=CO
, т. е. треугольник AOC
равнобедренный, а так как AI
и CI
— биссектрисы его углов при основании AC
, то \angle BAC=\angle BCA
. Следовательно, треугольник ABC
тоже равнобедренный, AB=BC
. Аналогично, AD=DC
.
Кроме того, поскольку центры описанных окружностей лежат вне этих треугольников, углы B
и D
тупые. Обозначим из \beta
и \delta
соответственно.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
\angle AOC=360^{\circ}-2\beta.
С другой стороны, так как O
— центр вписанной окружности треугольника ADC
, то
\angle AOC=90^{\circ}+\frac{\delta}{2},
(см. задачу 4770), поэтому
360^{\circ}-2\beta=90^{\circ}+\frac{\delta}{2}.
Аналогично,
360^{\circ}-2\delta=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}.
Вычитая из второго равенства первое, получим, что \beta=\delta
, а из первого равенства находим, что \beta=\delta=108^{\circ}
. Тогда углы при основаниях равнобедренных треугольников ABC
и ADC
равны по 36^{\circ}
, поэтому
\angle BAC=\angle BCD=2\cdot36^{\circ}=72^{\circ}.
Противоположные углы четырёхугольника ABCD
попарно равны, значит, это параллелограмм, а так как AB=BC
— это ромб. Следовательно, BC=CD=DA=1
.
Автор: Френкин Б. Р.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, финальный тур, первый день, задача 1, 8 класс