12576. Дан остроугольный треугольник ABC
. Точка P
выбрана так, что AP=AB
и PB\parallel AC
. Точка Q
выбрана так, что AQ=AC
и CQ\parallel AB
. Отрезки CP
и BQ
пересекаются в точке X
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
лежит на описанной окружности треугольника PXQ
.
Решение. Достроим треугольник ABC
до параллелограмма ABDC
. Поскольку BP\parallel AC
и BD\parallel AC
, точка B
лежит на прямой DP
, параллельной AC
, а так как AP=AB=CD
, четырёхугольник ACDP
— равнобедренная трапеция. Аналогично, ABDQ
— равнобедренная трапеция. Следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам PD
и QD
совпадают с серединными перпендикулярами к AC
и AB
соответственно, т. е. центр O
описанной окружности треугольника ABC
совпадает с центром описанной окружности треугольника DPQ
.
Центральный угол POQ
второй окружности вдвое больше вписанного угла PDQ
, т. е.
\angle POQ=2\angle PDQ=2\angle BDC=2\angle BAC.
Диагонали равнобедренной трапеции образуют равные углы с её основанием, поэтому
\angle XPD=\angle CPD=\angle ADP,~\angle XQD=\angle BDQ=\angle ADQ.
По теореме о внешнем угле треугольника получаем, что
\angle PXQ=\angle XPB+\angle XBP=\angle XPD+\angle QBP=
=\angle XPD+(\angle PDQ+\angle BQD)=\angle ADP+\angle BAC+\angle ADQ=
=(\angle ADP+\angle ADQ)+\angle BAC=\angle BAC+\angle BAC=
=2\angle BAC=\angle POQ.
Следовательно, точки O
, P
, Q
, X
лежат на одной окружности, т. е. центр O
описанной окружности треугольника ABC
лежит на описанной окружности треугольника PXQ
. Что и требовалось доказать.
Автор: Дидин М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, финальный тур, второй день, задача 6, 8 класс