12577. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
равны углы CAB
, BCA
, ECD
, DEC
и AEC
. Докажите, что середина отрезка BD
лежит на прямой CE
.
Решение. Поскольку \angle ECD=\angle AEC
, прямые CD
и AE
параллельны. Пусть прямая, проходящая через вершину B
параллельно AE
, пересекает диагонали AC
и CE
в точках P
и Q
соответственно. Тогда точки P
и Q
делят в одинаковом отношении основания CA
и CE
подобных равнобедренных треугольников ABC
и CDE
.
Обозначим \frac{CA}{CP}=\frac{CE}{CQ}=k
. Тогда
\frac{CB}{CD}=\frac{CA}{CE}=\frac{kCP}{kCQ}=\frac{CP}{CQ},
Значит, треугольники CBP
и CDQ
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда
\angle CBQ=\angle CBP=\angle CDQ,
поэтому
\angle CBQ+\angle BQD=\angle CDQ+180^{\circ}-\angle CDQ=180^{\circ}.
Значит, BC\parallel DQ
, а так как BQ\parallel CD
, то BCDQ
— параллелограмм. Следовательно, его диагональ BD
делится диагональю CQ
, а значит, и прямой DE
, пополам. Что и требовалось доказать.
Автор: Кухарчук И. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, финальный тур, второй день, задача 7, 8 класс