12580. Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника ABC
отмечена точка T
, для которой \angle ATB=\angle BTC=120^{\circ}
. Окружность с центром E
проходит через середины сторон треугольника ABC
. Оказалось, что точки B
, T
и E
лежат на одной прямой. Найдите угол ABC
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Пусть A_{0}
, B_{0}
, C_{0}
— середины сторон BC
, CA
, AB
соответственно, D
— вершина правильного треугольника ACD
, построенного во внешнюю сторону.
Из условия следует, что \angle ATC=120^{\circ}
, поэтому
\angle ATC+\angle ADC=120^{\circ}+60^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, точки A
, D
, C
и T
лежат на одной окружности. Вписанные в эту окружность углы ATD
и CTD
опираются на равные хорды, поэтому луч TD
— биссектриса угла ATC
.
С другой стороны, угол ATE
(или смежный с ним) равен 120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}
, значит, прямая TE
тоже делит угол ATC
пополам. Тогда точки T
, E
и D
лежат на одной прямой. Следовательно, точка E
лежит на отрезке BD
.
При гомотетии с центром B
и коэффициентом \frac{1}{2}
треугольник ABC
переходит в треугольник C_{0}BA_{0}
, середина B_{0}
отрезка AC
— середину отрезка C_{0}A_{0}
, прямая B_{0}D
— в параллельную ей прямую, проходящую через середину отрезка C_{0}A_{0}
, т. е. в серединный перпендикуляр к этому отрезку. На этом серединном перпендикуляре лежит центр описанной окружности \omega
треугольника A_{0}B_{0}C_{0}
, т. е. точка E
. В то же время, это точка пересечения прямой, параллельной AD
и проходящей через точку C_{0}
. Значит, E
— образ точки D
при рассматриваемой гомотетии. Следовательно, E
— середина BD
.
Тогда
\angle C_{0}EA_{0}=\angle ADC=60^{\circ},
а так как вписанный в окружность \omega
угол A_{0}B_{0}C_{0}
равен половине соответствующего центрального угла A_{0}EC_{0}
, равного углу ADC
, то
\angle ABC=\angle A_{0}B_{0}C_{0}=\frac{1}{2}\angle A_{0}EC_{0}=\frac{1}{2}\angle ADC=30^{\circ}.
Автор: Дидин М. А.
Автор: Фролов И. И.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2021, XVII, финальный тур, первый день, задача 3, 9 класс