12582. Вершина B
квадрата ABCD
лежит внутри равного ему квадрата AKLM
. Отрезки DL
и AM
пересекаются в точке N
. Найдите угол DNM
, если известно, что точка B
лежит на отрезке DL
.
Ответ. 105^{\circ}
.
Решение. Пусть O
— центр квадрата ABCD
. Тогда
AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AL.
Катет AO
прямоугольного треугольника AOL
равен половине гипотенузы AL
, значит (см. задачу 1179), \angle ALO=30^{\circ}
. Тогда
\angle ONM=\angle ALM-\angle ALO=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}.
Следовательно, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DNM=\angle NLM+\angle NML=15^{\circ}+90^{\circ}=105^{\circ}.